ПОЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО

- 1) П. м. аналитической функции f(z) комплексных переменных z=(z₁,...,z_n), п 1,- такое множество Рточек нек-рой области Dкомплексного пространства С ⁿ, что: а) f(z) голоморфна всюду в ; б) f(z) не продолжается аналитически ни в одну точку Р;в) для любой точки существуют такие окрестность U_a и голоморфная в U_a функция , что голоморфная в функция p_a(z)=q_a(z)f(z).продолжается голоморфно в U_a. Во всякой точке имеем q_a(a)=0.П. м. Рсостоит из полюсов. функции f(z), в к-рых , и точек неопределенности функции f(z), в к-рых p_a(a)=0 (предполагается, что p_a(z).и q_a(z).не имеют общих множителей, голоморфных и равных нулю в а). Всякое П. м. есть аналитич. множество комплексной размерности п-1.

2) П. м. в теории потенциала - множество Еточек евклидова пространства , такое, что существует потенциал , нек-рой борелевской меры m, принимающий значение в точках Еи только в них.

В случае логарифмического потенциала при n=2 и ньютонова потенциала при для того, чтобы ограниченное множество Ебыло П. м., необходимо и достаточно, чтобы Ебыло множеством типа G_d и имело нулевую внешнюю емкость. При этом в определении П. м. можно заменить "потенциал" на "супергармоническую функцию". Основные свойства П. м. для этого случая : а) множество {а}, состоящее из одной точки , есть П. м.; б) счетное объединение П. м. есть П. м.; в) любое П. м. имеет лебегову меру нуль в ; г) при конформных отображениях П. м. переходит в П. м.

Локальный критерий П. м. см. в ст. Разреженность множества.

Лит.:[1] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [2] Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964.

Е. Д. Соломенцев.